2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其它答案標(biāo)號(hào)框?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=

A．????????????? ????????????? B．{–3，–2，2，3）?????????????

C．{–2，0，2}????????????? ????????????? D．{–2，2}

2．（1–i）4=

A．–4????????????? ????????????? B．4?????????????

C．–4i????????????? ????????????? D．4i

3．如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為

A．5????????????? B．8????????????? C．10????????????? D．15

4．在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者

A．10名????????????? B．18名????????????? C．24名????????????? D．32名

5．已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是

A．a(chǎn)+2b????????????? B．2a+b????????????? C．a(chǎn)–2b????????????? D．2a–b

6．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=

A．2n–1 ????????????? B．2–21–n????????????? C．2–2n–1????????????? D．21–n–1

7．執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的k=0，a=0，則輸出的k為

A．2????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? B．3????????????? ????????????? ????????????? ????????????? C．4????????????? ????????????? ????????????? ????????????? D．5

8．若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為

A．????????????? ????????????? ????????????? ????????????? B．????????????? ????????????? ????????????? ????????????? C．????????????? ????????????? ????????????? ????????????? D．

9．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C：=l(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為

A．4????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? B．8????????????? ????????????? ????????????? ????????????? C．16????????????? ????????????? ????????????? ????????????? D．32

10．設(shè)函數(shù)f(x)=x3－，則f(x)

A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增????????????? ????????????? ????????????? B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減

C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增????????????? ????????????? ????????????? D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減

11．已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為

A．????????????? ????????????? ????????????? ????????????? B．????????????? ????????????? ????????????? ????????????? C．1????????????? ????????????? ???? ????????????? D．

12．若2x－2y<3?x－3?y，則

A．ln(y-x+1)>0????????????? ????????????? B．ln(y-x+1)<0????????????? ????????????? C．ln∣x-y∣>0????????????? ????????????? D．ln∣x-y∣<0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．若，則__________．

14．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1=–2，a2+a6=2，則S10=__________．

15．若x，y滿足約束條件則的最大值是__________．

16．設(shè)有下列四個(gè)命題：

p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．

p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面．

p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．

p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________．

①                                                             ????????????? ②????????????? ③????????????? ④

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17．（12分）

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，證明：△ABC是直角三角形．

18． (12分)

某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi) (i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，．

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

（2）求樣本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．

附：相關(guān)系數(shù)r= ，=1.414．

19．(12 分)

已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸重直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的離心率；

（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．

20．（12分）

如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．

21．（12分）

已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；

（2）設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑．按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分．

22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為

C1：（θ為參數(shù)），C2：（t為參數(shù)）．

（1）將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)C1，C2的交點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程．

23．[選修4—5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù)f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|．

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)≥4的解集；

（2）若f(x)≥4，求a的取值范圍．

參考答案

1．D????????????? 2．A????????????? 3．C????????????? 4．B????????????? 5．D????????????? 6．B????????????? 7．C????????????? 8．B????????????? 9．B????????????? 10．A????????????? 11．C????????????? 12．A

13． ????????????? ????????????? 14．25?? 15．8???? 16．①③④

17．解：（1）由已知得，即．

所以，．由于，故．

（2）由正弦定理及已知條件可得．

由（1）知，所以．

即，．

由于，故．從而是直角三角形．

18．解：（1）由己知得樣本平均數(shù)，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200= 12 000．

（2）樣本的相關(guān)系數(shù)

．

（3）分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．

理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．

19．解：（1）由已知可設(shè)的方程為，其中.

不妨設(shè)在第一象限，由題設(shè)得的縱坐標(biāo)分別為，；的縱坐標(biāo)分別為，，故，.

由得，即，解得（舍去），.

所以的離心率為.

（2）由（1）知，，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線為.

由已知得，即.

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

20．解：（1）因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．

因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．

所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．

（2）AO∥平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1F = PN，

故AO∥PN，又AP∥ON，故四邊形APNO是平行四邊形，

所以PN=AO=6，AP = ON=AM=，PM=AM=2，EF=BC=2．

因?yàn)锽C∥平面EB1C1F，所以四棱錐B-EB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離．

作MT⊥PN，垂足為T，則由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT =PM sin∠MPN=3．

底面EB1C1F的面積為

所以四棱錐B-EB1C1F的體積為．

21．解：設(shè)h(x)=f(x)?2x?c，則h(x)=2lnx?2x+1?c，

其定義域?yàn)?0，+∞)，.

（1）當(dāng)0<x<1時(shí)，h'(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)<0.所以h(x)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，+∞)單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時(shí)，h(x)取得最大值，最大值為h(1)=?1?c.

故當(dāng)且僅當(dāng)?1?c≤0，即c≥?1時(shí)，f(x)≤2x+c.

所以c的取值范圍為[?1，+∞).

（2），x∈(0，a)∪(a，+∞).

取c=?1得h(x)=2lnx?2x+2，h(1)=0，則由（1）知，當(dāng)x≠1時(shí)，h(x)<0，即

1?x+lnx<0.故當(dāng)x∈(0，a)∪(a，+∞)時(shí)，，從而.

所以在區(qū)間(0，a)，(a，+∞)單調(diào)遞減.

22．解：（1）的普通方程為．

由的參數(shù)方程得，，所以．

故的普通方程為．

（2）由得所以的直角坐標(biāo)為．

設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為，由題意得，

解得．

因此，所求圓的極坐標(biāo)方程為．

23．解：（1）當(dāng)時(shí)，

因此，不等式的解集為．

（2）因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，．所以當(dāng)a≥3或a≤-1時(shí)，．

所以a的取值范圍是．

注：以上試題來源：學(xué)科網(wǎng)！