溫馨提示：如存在試卷格式問題，請點擊下載查看。

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）

數(shù)學(xué)Ⅰ

注意事項

考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求

1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。

3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符。

4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。

5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。

參考公式：

柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．

1．已知集合，則?? ▲?? ．

2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是?? ▲?? ．

3．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是?? ▲?? ．

4．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是?? ▲?? ．

5．如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是?? ▲?? ．

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是?? ▲?? ．

7．已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則的值是?? ▲?? ．

8．已知=，則的值是?? ▲?? ．

9．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半輕為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是?? ▲?? cm.

10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是

?? ▲?? ．

11．設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是?? ▲?? ．

12．已知，則的最小值是?? ▲?? ．

13．在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是?? ▲?? ．

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是?? ▲?? ．

二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．（本小題滿分14分）

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．

（1）求證：EF∥平面AB1C1；

（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．

16．（本小題滿分14分）

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．

17．（本小題滿分14分）

某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上)．經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點B到的距離為40米．

（1）求橋AB的長度；

（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點)．.橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0)，問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

18．（本小題滿分16分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．

（1）求的周長；

（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點Q，求的最小值；

（3）設(shè)點M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點M的坐標(biāo)．

19．（本小題滿分16分）

已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．

（1）若，求h(x)的表達(dá)式；

（2）若，求k的取值范圍；

（3）若求證：．

20．（本小題滿分16分）

已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．

（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；

（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；

（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案

一、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分,共計70分.

1． ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? 2．3 ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? 3．2????????????? ????????????? ????????????? ????????????? 4． ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? 5．

6．????????????? ????????????? ????????????? ????????????? 7． ????????????? ????????????? ????????????? 8． ????????????? ????????????? ????????????? 9． ????????????? ????????????? 10．

11．4????????????? ????????????? ????????????? 12． ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? 13．或0????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? 14．

二、解答題

15．本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.

證明：因為分別是的中點，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（2）因為平面，平面,

所以.

又,平面,平面,

所以平面.

又因為平面,所以平面平面.

16．本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.滿分14分.

解：（1）在中，因為，

由余弦定理，得，

所以.

在中，由正弦定理，

得，

所以

（2）在中，因為,所以為鈍角，

而,所以為銳角.

故則.

因為，所以，.

從而.

17．本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、用導(dǎo)數(shù)求最值、解方程等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.滿分14分.

解：（1）設(shè)都與垂直，是相應(yīng)垂足.

由條件知，當(dāng)時，

則.

由得

所以（米）.

（2）以為原點，為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示）.

設(shè)則

.

因為所以.

設(shè)則

所以

記橋墩和的總造價為，

則?

，

令 得

所以當(dāng)時，取得最小值.

答：（1）橋的長度為120米；

（2）當(dāng)為20米時，橋墩和的總造價最低.

18．本小題主要考查直線方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分16分.

解：（1）橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，

則.

所以的周長為.

（2）橢圓的右準(zhǔn)線為.

設(shè)，

則，

在時取等號.

所以的最小值為.

（3）因為橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，

則.

所以直線

設(shè)，因為，所以點到直線距離等于點到直線距離的3倍.

由此得，

則或.

由得，此方程無解；

由得，所以或.

代入直線，對應(yīng)分別得或.

因此點的坐標(biāo)為或.

19．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.滿分16分.

解:（1）由條件，得，

取，得，所以．

由，得，此式對一切恒成立，

所以，則，此時恒成立，

所以．

（2）.

令，則令，得.

所以.則恒成立，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時，恒成立．

另一方面，恒成立，即恒成立，

也即恒成立．

因為，對稱軸為，

所以，解得．

因此，k的取值范圍是

（3）①當(dāng)時，

由，得，整理得

令 則．

記

則恒成立，

所以在上是減函數(shù)，則，即．

所以不等式有解，設(shè)解為，

因此．

②當(dāng)時，

．

設(shè)，

令，得．

當(dāng)時，，是減函數(shù)；

當(dāng)時，，是增函數(shù)．

，，則當(dāng)時，．

（或證：．）

則，因此．

因為，所以．

③當(dāng)時，因為，均為偶函數(shù)，因此也成立．

綜上所述，．

20．本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力．滿分16分．

解：（1）因為等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，

也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．

若，則恒成立，故，而，

這與是等差數(shù)列矛盾．

所以．（此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）

（2）因為數(shù)列是“”數(shù)列，

所以，即．

因為，所以，則．

令，則，即．

解得，即，也即，

所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．

因為，所以．則

（3）設(shè)各項非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，

則，即．

因為，而，所以，則．

令，則，即．（*）

①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個．

（此數(shù)列為1，0，0，0，…）

②若，則（*）化為，

因為，所以，則（*）只有一解為，

即符合條件的數(shù)列只有一個．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）

③若，則的兩根分別在（0，1）與（1，+∞）內(nèi)，

則方程（*）有兩個大于或等于1的解：其中一個為1，另一個大于1（記此解為t）．

所以或．

由于數(shù)列從任何一項求其后一項均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個，則對應(yīng)的有無數(shù)多個．

綜上所述，能存在三個各項非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是．

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)

21．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

平面上點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點．

（1）求實數(shù)，的值；

（2）求矩陣的逆矩陣．

B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）

在極坐標(biāo)系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．

（1）求，的值；

（2）求出直線與圓的公共點的極坐標(biāo)．

C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

設(shè)，解不等式．

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

22．（本小題滿分10分）

在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．

（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；

（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．

23．（本小題滿分10分）

甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．

（1）求p1，q1和p2，q2；

（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) ．

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案

21．【選做題】

A．[選修4-2：矩陣與變換]

本小題主要考查矩陣的運算、逆矩陣等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．滿分10分．

解：（1）因為 ，所以

解得，所以．

（2）因為，，所以可逆，

從而．

B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．滿分10分．

解：（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圓C上，

因此或0．

（2）由得，所以．

因為，，所以，．

所以公共點的極坐標(biāo)為．

C．[選修4-5：不等式選講]

本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解和推理論證能力．滿分10分．

解：當(dāng)x>0時，原不等式可化為，解得；

當(dāng)時，原不等式可化為，解得；

當(dāng)時，原不等式可化為，解得．

綜上，原不等式的解集為．

22．【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運算求解能力．滿分10分．

解：（1）連結(jié)OC，因為CB =CD，O為BD中點，所以CO⊥BD．

又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．

以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O–xyz．

因為BD=2，，AO=2，

所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．

因為E為AC的中點，所以E（0，1，1）．

則=（1，0，–2），=（1，1，1），

所以．

因此，直線AB與DE所成角的余弦值為．

（2）因為點F在BC上，，=（–1，2，0）．

所以．

又，

故．

設(shè)為平面DEF的一個法向量，

則即

取，得，，所以．

設(shè)為平面DEC的一個法向量，又=（1，2，0），

則即取，得，，

所以．

故．

所以．

23．【必做題】本小題主要考查隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識，考查邏輯思維能力和推理論證能力．滿分10分．

解：（1），，

，

．

（2）當(dāng)時，

，①

，②

，得．

從而，又，

所以，．③

由②，有，又，

所以，．

由③，有，．

故，．

的概率分布

0

1

2

則．